平均：０ 分散：１ の標準正規分布としての，
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi }} \displaystyle \int_{\frac{-a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}}^{\frac{a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - \frac{t^2}{2 } \right] \ dx = 0.95 \)
a，を求めればいいことになります．となる． この分布は，左右対称なので，
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi }} \displaystyle \int_{0}^{\frac{a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - \frac{t^2}{2 } \right] \ dx = \frac{0.95 }{2} \)
を計算すればいいことになります．
ここで指数項を変数変換すると（2度手間です）,
\(\Large \frac{t^2}{2 } \equiv w^2 \)
とすれば，
\(\Large \frac{t}{ \sqrt{2}} = w \)
\(\Large \frac{dt}{ \sqrt{2}} = dw \)
となるので，tの範囲からwの範囲を計算すると，
\(\Large 0 \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} t \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} \frac{-a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \)
\(\Large 0 \hspace{13 pt} \rightarrow \hspace{10 pt} w \hspace{10 pt} \rightarrow \hspace{10 pt} \frac{-a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}} \)
したがって，
\(\Large \displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{ 2 \pi }} \displaystyle \int_{0}^{\frac{a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - w^2 \right] \ dw = \frac{0.95 }{2} \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \displaystyle \int_{0}^{\frac{a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - w^2 \right] \ dw = \frac{0.95 }{2} \)
となります．ここで，誤差関数，
\(\Large \displaystyle erf(x) = \frac{2}{\sqrt{ \pi }} \displaystyle \int_{0}^{x} exp \left[ - w^2 \right] \ dw \)
を利用すると，
\(\Large \displaystyle \displaystyle \int_{0}^{x} exp \left[ - w^2 \right] \ dw = \frac{\sqrt{ \pi }}{2} erf(x)\)
となります．したがって，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \displaystyle \int_{0}^{\frac{a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - w^2 \right] \ dw
= \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \frac{\sqrt{ \pi }}{2} erf \left( \frac{a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}} \right)
= \frac{0.95 }{2} \)
\(\Large \displaystyle erf \left( \frac{a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}} \right) = 2 \frac{0.95 }{2} = 0.95 \)
を計算すればいいことになります．．逆関数を考えると，
\(\Large \displaystyle erf^{-1} (0.95) = \frac{a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}} \)
\(\Large \displaystyle a = \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}} erf^{-1} (0.95) \)
\(\Large \displaystyle erf^{-1} (0.95) \)
は，ここ，で述べたように，
\(\Large \displaystyle \begin{eqnarray} ERFINV(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2}} NORMSINV \left\{ \frac{1+x}{2} \right\} \\
&=& NORMINV
\left\{ \frac{1+x}{2}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\} \\
\end{eqnarray} \)
ですので，エクセルで計算すると，
\(\Large \displaystyle erf^{-1} (0.95) =1.3859 \)
となります．したがって，
\(\Large \displaystyle a = \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}} erf^{-1} (0.95) = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \sqrt{2} \cdot 1.3859 = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \times 1.96\)
と1.96が出てきました．